Equação com duas variaveis

EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIAVEIS



* Definição



É definido como equação do primeiro grau com duas variáveis sejam elas, x e y, a toda e qualquer equação que pode ser indicada nas formas:



ax + by = c



Sendo que: a e b, são números e diferentes de zero ( a e b ≠ 0 ), respectivamente.



Exemplos:



3x – 4y = 2 » os número “x” e “y” que são desconhecidos recebem os termos de incógnita.



3y + 4x = 7 » os número “y” e “x” que são desconhecidos recebem os termos de incógnita.



* Solução de equação do 1º grau com “duas” variáveis



As equações do primeiro grau que estejam na forma com duas variáveis, x e y, possuem infinitas soluções.



Estas soluções infinitas podem ser obtidas dando valores “soltos” para uma das variáveis, e em seguida efetua-se o cálculo da outra variável.



Encontrando estes valores de x e y, significa dizer que foi obtido o par ordenado de números x e y, o qual tornará a sentença ou o problema fornecido verdadeiro.



Exemplo de fixação:



a) 3x + 2y = 20



Como já informado esta equação tem infinitas soluções:



1) x = 2



3x + 2y = 20



3.2 + 2y = 20



2y = 20 – 6



2y = 14



y = 7



Assim, temos o par ordenado x e y (2 e 7).



Veja se a sentença é verdadeira:



3x + 2y = 20 (quando x = 2, y = 7)



3.2 + 2.7 = 20



6 + 14 = 20



20 = 20



b) 2x + 4y = 8



Agora tomaremos os valores de x e y respectivamente:



x = 2 e y = 6



2x + 4y = 8



2.2 + 4.6 = 8



4 + 24 = 8



28 ≠ 8



Desta forma, o par 2 e 6 não é a solução verdadeira para o a sentença acima.



* Linguagem textual para soluções de problemas



Para que se possam resolver problemas com equações do 1º grau, é preciso traduzir alguns enunciados para linguagem em moldes matemáticos.



Observe abaixo:





* Exercícios resolvidos de equações de 1º grau com “uma” e “duas” variáveis



01 – Em um sítio, entre ovelhas e cabritos, há 200 animais. Se o número de ovelhas é igual a 1/3 do número de cabritos, determine quantas são o número de ovelhas e quantos são o número de cabritos.



R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (ovelhas e cabritos).



Solução:



x = ovelhas



y = cabritos



Sabendo que x é igual 1/3 do total de 200 animais, temos o valor de ovelhas = 67 (valor arred.)



assim: x + y = 200



67 + y = 200



y = 200 – 67



y = 133 >> S = {67,133}



Existem, desta forma, 67 ovelhas e 133 cabritos, totalizando 200 animais.



02 – Em um quintal existem porcos, avestruz e galinhas, fazendo um total de 60 cabeças e 180 pés.



Quantos são os animais de duas patas e quantos são os de quatro patas?



R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (animais de duas patas e animais de quatro patas).



Solução:



x = animais de duas patas (avestruz e galinhas)



y = animais de quatro patas (porcos)



x + y = 60 >> x = 60 – y



Assim: animais de duas pernas 2x, e quatro pernas 4y, logo são observados.



2x + 4y = 180



2(60 – y) + 4y = 180



120 – 2y + 4y = 180



2y = 180 – 120



2y = 60 >> y = 30



x + y = 60



x + 30 = 60



x = 60 -30 >> x = 30 >> S = {30,30}



Existem, então, 30 animais de 02 pernas e 30 animais de 04 pernas.



03 – Determine os valores da incógnita “x”, nas expressões abaixo:



a) 2x + 6 = 0



2x = -6



x = -6/2



x = -3 >> V = {-3}



b) 5x + 4 = 5 + 4x



5x – 4x = 5 – 4



x = 1 >> V = {1}



c) -10x + 6 = -18 + 2x



-10x – 2x = -18 – 6



-12x = -24 (.-1) , multiplicar por (-1), pois a variável x está com valor negativo



12x = 24



x = 24/12 >> x = 2 >> V = {2}



04 – A soma de dois números dados é 8 e a diferença entre estes mesmos números é igual a 4. Quais sãos os números?



R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (aplica-se aqui o estudo da linguagem textual).



x + y = 8



x – y = 4



x + x + y – y = 8 + 4



2x = 12



x = 12/2 >> x = 6



x – y = 4



6 – y = 4



-y = 4 – 6



-y = -2 (.-1) >> y = 2 >> S = {6,2}