Sistemas de equações de 2º grau

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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www.accbarrosogestar.wordpress.com SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Observe o seguinte problema:
Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m². Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64
2x . ( 2x + 2y) = 192 4x² + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:
2x + y = 16 1
x² +xy = 48 2
Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.
Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:
Assim: 2x + y = 16 1
y = 16 - 2x
Substituindo y em 2 , temos:
x² + x ( 16 - 2x) = 48
x ² + 16x - 2x² = 48
- x² + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.
x² - 16x + 48 = 0
x'=4 e x''=12
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'=16 - 2 . 4 = 8
y''=16 - 2 . 12 = - 8
As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).
desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:
Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m
Largura =2x = 2. 4 = 8m
Verifique agora a solução deste outro sistema:

Isolando y em 1
y - 3x = -1 y = 3x - 1
Substituindo em 2
x² - 2x(3x - 1) = -3
x² - 6x² + 2x = -3
-5x² + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.
5x² - 2x - 3 = 0
x'=1 e x''=-
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .
Logo, temos para conjunto verdade:

PROBLEMAS DO 2º GRAU

Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:
Sequência prática

• Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
• Resolva a equação ou o sistema de equações.
• Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

• Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .

Solução
Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por .
Temos estão a equação: .
Resolvendo-a:

Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.
Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

• Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

Solução
Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.
Observe:
Número: 10x + y
Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.
Temos, então, o sistema de equações:

Resolvendo o sistema, temos:

Isolando y em 1 :
-x + y = 3 y= x + 3
Substituindo y em 2:
xy = 18
x ( x + 3) = 18
x² + 3x = 18
x² + 3x - 18 = 0
x'= 3 e x''= -6
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'= 3 + 3 = 6
y''= -6 + 3 = -3
Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número
36 ( x=3 e y=6).
Resposta: O número procurado é 36.

• Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

Solução
Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equação correspondente:

Resolvendo-a, temos:
6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )
6x + 30 + 6x = x² + 5x
x² - 7x - 30 = 0
x'= - 3 e x''=10
Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.
Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

• Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?

Solução
Podemos representar por:

Resolvendo-a:

Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.
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